Как найти углы треугольника по сторонам

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются . Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем

Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Неравенство треугольника

Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:

Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:

Так как AD = АС + СD, то нам достаточно показать, что АВ <AD. Ясно, что ∆ВСD является рав-бедр., ведь ВС = СD. Это значит, что

Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.

Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:

7 > 2 + 3

Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.

Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?

Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.

Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется:

Прямоугольная фигура

С незапамятных времен человечество интересовалось свойствами геометрических объектов. Одним из них был прямоугольный треугольник, который еще в Древнем Египте считался священным, поскольку обладал характерными для него особенностями (речь идет о фигуре, соотношение сторон которой находится в отношении 3:4:5). Большие достижения в области изучения геометрических свойств рассматриваемой фигуры имели философы античной Греции, среди которых выделяется имя Пифагора.

Составляющие элементы и теорема Пифагора

Поскольку речь идет о треугольнике, то для него также характерно наличие трех сторон и трех внутренних углов. Однако, в отличие от остальных фигур данного вида, прямоугольный треугольник имеет один угол равный 90 °. Остальные два угла всегда являются острыми, что следует из фиксированной суммы их значений (180 °).

Чтобы узнать, как называются стороны прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его рисунок.

Стороны a и b образуют прямой угол. Они называются катетами. Сторона c, которая лежит против угла 90 °, ограничена двумя острыми углами. Она носит название гипотенузы. Эти названия стоит запомнить, поскольку на них основаны все свойства и теоремы для этого типа треугольника.

Существует два вида рассматриваемой фигуры:

• равнобедренный;
• разносторонний.

Касательно равнобедренного прямоугольного геометрического объекта можно сказать, что его катеты друг другу равны, но они никогда не равны гипотенузе. Острые углы в таком треугольнике составляют по 45 °, что легко доказать, применяя теорему синусов, и учитывая, что сумма трех углов соответствует 180 °.

Теорема косинусов для рассматриваемого треугольника произвольной формы вырождается в простое равенство:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC ==>

c 2 = a 2 + b 2 .

Оно получается потому, что косинус прямого угла равен нулю согласно свойству этой тригонометрической функции. Формулировка «квадрат гипотенузы в точности соответствует сумме квадратов катетов данного треугольника» носит название известной теоремы Пифагора. Чтобы ее доказать, не прибегая к теореме косинусов, следует провести некоторые геометрические построения.

Основные свойства

Несмотря на общие свойства, которыми обладает прямоугольный треугольник, и которые характерны для любой фигуры с тремя вершинами и тремя сторонами, для него существуют также присущие только ему особенности. Основными из них являются следующие:

1. Наличие двух острых углов, что видно из рисунка треугольника прямоугольного.
2. Длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, при этом сумма длин последних всегда будет больше, чем одна гипотенуза.
3. Справедливость теоремы Пифагора.
4. Если один из острых углов равен 30 °, то противолежащий к нему катет ровно в два раза меньше длины гипотенузы.
5. Сумма длины гипотенузы и диаметра окружности, вписанной в треугольник, равна сумме длин катетов. Математически получается следующая запись: c + 2*r = a + b, здесь r — радиус вписанной в треугольник окружности. Получить это выражение можно легко, если применить теорему о вписанной в произвольный треугольник окружности, которая устанавливает связь между r, p и S: S = p*r, где S — площадь фигуры, p — ее полупериметр.
6. Чтобы понять, как найти основание прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его катеты. Поскольку они перпендикулярны друг другу, то один из них может служить высотой, а другой основанием. Тогда площадь вычислится, как полупроизведение этих сторон: S = ½*a*b.
7. Медиана M делит прямой угол равнобедренного треугольника на две равные части, то есть является биссектрисой. Одновременно она является высотой, длина которой равна половине гипотенузы: M = ½*c. Это свойство справедливо для любого треугольника с прямым углом, а не только для равнобедренного.
8. Длину высоты h, которая проведена из вершины с прямым углом на основание-гипотенузу, можно найти по следующей формуле через катеты: h = a*b/(a2 + b2)^0,5. Это равенство следует из формулы для площади фигуры.

Кроме названных свойств, следует отметить, что рассматриваемый геометрический объект является источником определения тригонометрических выражений (синуса, косинуса, котангенса и тангенса). Так, синусом угла ∠ A будет отношения противолежащего ему катета a к гипотенузе c, то есть sinA = a/c. Косинусом этого угла будет отношения ближайшего или прилежащего к нему катета к стороне c: cosA = b/c. Составлены целые таблицы этих функций, которые активно используются при решении геометрических проблем.

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты \( \small AA_1 ,\) \( \small BB_1 ,\) \( \small CC_1 \) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник \( \small A_2B_2C_2. \) Покажем, что точки \( \small A, \ B, \ C \) являются серединами сторон треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) \( \small AB=A_2C \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABA_2C. \) \( \small AB=CB_2 \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABCB_2. \) Тогда \( \small CB_2=CA_2, \) то есть точка \( \small C \) является серединой стороны \( \small A_2B_2 \) треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) Аналогично доказывается, что точки \( \small A \) и \( \small B \) являются серединами сторон \( \small B_2C_2 \) и \( \small A_2C_2, \) соответственно.

Далее из \( \small AA_1⊥BC \) следует, что \( \small AA_1⊥B_2C_2 \) поскольку \( \small BC \ ǁ \ B_2C_2 \). Аналогично, \( \small BB_1⊥A_2C_2, \) \( \small CC_1⊥A_2B_2. \) Получили, что \( \small AA_1,\) \( \small BB_1, \) \( \small CC_1\) являются серединными перпендикулярами сторон \( \small B_2C_2, \) \( \small A_2C_2, \) \( \small A_2B_2, \) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

откуда

Далее, из теоремы синусов имеем:

Подставляя (6) в (7), получим:

или

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

Пример 3. Известны стороны треугольника: \( \small b=7, \) \( \small c= 3 \) и радиус описанной окружности \( \small R=4. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)

Решение: Проверим сначала условие (9):

Условие (9) удовлетворяется, следовательно такой треугольник существует. Для нахождения выстоты треугольника воспользуется формулой (8). Имеем:

Ответ: \( \small 2\frac{5}{8}. \)

Сравнение сторон и углов треугольника

Докажем следующую теорему:

Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:

Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:

Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.

Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что

Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ <ВС. Первый вариант означает, что ∆АВС – рав-бедр., но тогда ∠С =∠B, что противоречит условию. Если же АВ <ВС, то по только что доказанному утверждению ∠С<∠B, что также противоречит исходному условию. Поэтому АВ >AC.

Задание. В ∆АВС известны углы:

Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.

Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС<AС<AВ:

Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:

Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.

Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.

Решение.

Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:

В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).

Сумма углов треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:

Известно, что секущие образуют пары , причем они . Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.

Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:

С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют , то есть их сумма равна 180°:

В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:

Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?

Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.

Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:

Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.

Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:

В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.

Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?

Решение

Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:

Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:

Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:

Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!

Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.

Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?

Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:

Как найти сторону треугольника?

Безусловно, чаще всего вопрос о том, как же найти неизвестную сторону треугольника возникает при проведении алгебраических или же геометрических расчетов, но иногда такая необходимость возникает и в обычной жизни, например, при построении каких-либо архитектурных чертежей или проведении расчетов.

В настоящий момент времени есть несколько различных способов решения такой задачи. И каждый способ отличается от предыдущего не только формулой, по которой производится расчет, но и исходными данными, которые необходимы для вычисления.

Способы нахождения сторон треугольника

Итак, самым простым и логичным ответом на вопрос: как находить стороны треугольника, является то, что необходимо найти решение по формуле. В зависимости от исходных данных, формулы могут быть самыми разными. Обычно необходимую сторону треугольника можно вычислить по:

1. Двум уже известным сторонам и углу, который находится между ними.
2. Двум углам и одной известной стороне.

Как видно, в любом, из двух названных случаях, все равно необходимо знать значения трех показателей. Без их знания никогда не будет возможным найти ответ на вопрос о том, как находить стороны треугольника.

Как найти неизвестную сторону треугольника

Итак, чтобы найти сторону треугольника которая не известна по условию при помощи первого способа необходимо использовать следующую формулу: с=v(а2+b2-2аb*cosC).

Что касается обозначений данной формулы, то а и b — это длины известных сторон, cosC угол, находящийся между ними.

На самом деле, для решения задачи о том, как найти неизвестную сторону в треугольнике, абсолютно нет никакой необходимости обладать какими-то особыми алгебраическими знаниями, вполне достаточно знать основы.

Но для того, чтобы полученные в ходе вычислений данные были точными, необходимо очень внимательно и правильно производить расчеты, лучше всего провести их два раза,  а в случае несоответствия результатов друг другу, произвести расчет еще раз.

Треугольник, имеющий одинаковые стороны

Стандартные формула расчета поиска неизвестной стороны обычного треугольника были приведены выше. Но всегда необходимо помнить о том, что для того, чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника, они не подходят.  И поэтому для решения данного вопроса существуют специальные отдельные формулы, которые подходят лишь для данного треугольника.

Итак, в первую очередь, обязательно нужно помнить, что высота такого треугольника — это, в то же время, и его медиана. А боковая сторона, которую необходимо найти, будет являться его гипотенузой.

Как всем известно, еще со школьной программы, гипотенуза данного треугольника находится по теореме Пифагора.

И хотя, на первый взгляд, может показаться, что вычисление неизвестной стороны любого треугольника весьма сложное и трудоемкое занятие, это не совсем так. Сложным оно будет лишь в первый раз. Главное, правильно следовать формуле для каждой конкретной задачи, и проверять полученный результат несколько раз.